（本小题满分14分） 已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点F的距离

（本小题满分14分）

已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点F的距离为2，

直线与抛物线交于两点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；

（Ⅲ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值.

【解析】（Ⅰ）抛物线 的准线为，     ................1分

由抛物线定义和已知条件可知，

解得，故所求抛物线方程为.                .............................3分

（Ⅱ）联立，消并化简整理得.

依题意应有，解得.               ............................4分

设，则，          ..............................5分

设圆心，则应有.

因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，         ...............6分

又 .

所以 ，                        .....................7分

解得.                                         .........................8分

所以，所以圆心为.

故所求圆的方程为.                 .......................9分

方法二：

联立，消掉并化简整理得，

依题意应有，解得.         ........................4分

设，则 .       ........................5分

设圆心，则应有，

因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为.    ......................6分

又 ，

又，所以有，              ...............................7分

解得，                                     .................8分

所以，所以圆心为.

故所求圆的方程为.             ...................9分

（Ⅲ）因为直线与轴负半轴相交，所以，

又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，.........................10分

直线：整理得，

点到直线的距离 ，                .................................11分

所以.    .........................12分

令，，

，

由上表可得最大值为 .               ................................13分

所以当时，的面积取得最大值 .    ..................................14分