如图T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点

 如图T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.

图T8-6

(1)求证:BC是☉O的切线;

(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;

(3)若BE=8,sinB=,求DG的长.

[解析] (1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角,证明∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而证明△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,证明△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长.

解:(1)证明:连接OD,

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA,

∵AD平分∠BAC,

∴∠OAD=∠DAC,

∴∠DAC=∠ODA,

∴OD∥AC,

∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.

∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.

(2)连接EF,DF.∵AE为☉O直径,

∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,

∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.

∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.

又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,

∴=,∴AD²=AB·AF,

∴AD=.

(3)设☉O半径为r,

在Rt△DOB中,sinB==,

∴=,解得r=5,∴AE=10.

在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=,

∴AF=10×=,

∴AD==.

∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,

∴△OGD∽△FGA,

∴==,

∴=,

∴DG=.