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用数学归纳法证明当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除.

用数学归纳法证明当n是正奇数时,xⁿ+yⁿ能被x+y整除.

答案

证明

:(1)当n=1时,xⁿ+yⁿ=x+y能被x+y整除.

(2)假设n=2k-1时命题成立,即(x^2k-1+y^2k-1)能被x+y整除,那么n=2k+1时有x^2k+1+y^2k+1=x^2k-1·x²+y^2k-1·y²

=x^2k-1·x²+x^2k-1·y²-x^2k-1·y²+y^2k-1·y²

=x^2k-1(x²-y²)+(x^2k-1+y^2k-1)·y²

=x^2k-1(x+y)(x-y)+(x^2k-1+y^2k-1)·y².

∵x^2k-1(x+y)(x-y)与(x^2k-1+y^2k-1)y²都能被x+y整除,∴n=2k+1时命题成立.

综合(1)(2)可知对一切正奇数n,xⁿ+yⁿ都能被x+y整除.

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