如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．
如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋1.
∵抛物线经过原点(0，0)，代入，得a＝－
.
∴y＝－(x－2)2＋1.
(2)设点M(a，b)，S△AOB＝
×4×1＝2.
则S△MOB＝6，∴点M必在x轴下方．
∴×4×|b|＝6.∴b＝－3.
将y＝－3代入y＝－(x－2)2＋1中，得
x＝－2或6.
∴点M的坐标为(－2，－3)或(6，－3)．
(3)存在．∵△OBN相似于△OAB，
相似比OA∶OB＝
∶4，
∴S△AOB∶S△OBN＝5∶16.
而S△AOB＝2.∴S△OBN＝
.
设点N(m，n)，点N在x轴下方．
S△OBN＝×4×|n|＝.n＝－
.
将其代入抛物线表达式，求得横坐标为2±
，
∴存在点N，使△OBN与△OAB相似，点N的坐标为(2±，－)．