已知：如图28－Y－14，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：PD2＝PB·PA；
(3)若PD＝4，tan∠CDB＝
，求直径AB的长．
已知：如图28－Y－14，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：PD2＝PB·PA；
(3)若PD＝4，tan∠CDB＝，求直径AB的长．
解：(1)证明：连接OD，OC.
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°.
∵直径AB⊥CD，
∴O，P是CD垂直平分线上的点，
∴OD＝OC，PD＝PC.
又∵OP＝OP，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP＝∠OCP＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵∠ODP＝90°，
∴∠PDB＋∠ODB＝90°.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO＋∠ODB＝90°，
∴∠PDB＝∠ADO＝∠A.
又∵∠DPB＝∠APD，
∴△DPB∽△APD，
∴PD∶PA＝PB∶PD，
∴PD2＝PB·PA.
(3)∵∠A＋∠ABD＝90°＝∠CDB＋∠ABD，
∴∠A＝∠CDB.
又∵tan∠CDB＝，
∴tanA＝，
∴AD＝2BD.
∵△DPB∽△APD，
∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1∶ 2.
又∵PD＝4，
∴PA＝8，PB＝2，
∴AB＝6.