一数列{an}的前n项的平均数为n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
，证明数列{bn}是递增数列；
（3）设
，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．
一数列{an}的前n项的平均数为n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，证明数列{bn}是递增数列；
（3）设，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．
解答：
解：（1）由题意可得
，∴
，
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
当n=1时也成立．故an=2n﹣1．
（2）作差bn+1﹣bn=
=
=
=
，
∴bn+1＞bn对于任意正整数n都成立，因此数列{bn}是递增数列．
（3）∵
递增，∴有最小值
，
∴
，解得x2﹣4x+1≥0，
．
所以M=
．
存在最大的数M=，当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．