（陕西卷理20文21）已知抛物线
：
，直线
交于
两点，
是线段
的中点，过作
轴的垂线交于点
．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数
使
，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
（陕西卷理20文21）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解：解法一：（Ⅰ）如图，设
，
，
把
代入
得
，
由韦达定理得
，
，
，
点的坐标为
．
设抛物线在点处的切线
的方程为
，
将代入上式得
，
直线与抛物线
相切，
，
．即
．
（Ⅱ）假设存在实数
，使
，则
，又
是
的中点，
．
由（Ⅰ）知
．
轴，
．
又
．
，解得
．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如图，设
，把代入得
．由韦达定理得
．
，点的坐标为．
，
，
抛物线在点处的切线的斜率为
，
．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知
，则
，
，
，解得．即存在，使．