已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交

已知：二次函数y=ax²﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；

（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA²？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意，A（﹣1，0），

∵对称轴是直线x=1，

∴B（3，0）；（1分）

把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y=ax²﹣2x+c

得；（2分）

解得．

∴这个二次函数的解析式为y=x²﹣2x﹣3．

（2）∵直线与y轴交于D（0，1），

∴OD=1，

由y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4得E（1，﹣4）；

连接CE，过E作EF⊥y轴于F（如图1），则EF=1，

∴OC=OB=3，CF=1=EF，

∴∠OBC=∠OCB=∠45°，

BC==，

；

∴∠BCE=90°=∠BOD，，

，

∴，

∴△BOD∽△BCE，（6分）

∴∠CBE=∠DBO，

∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°．（7分）

（3）设P（1，n），

∵PA=PC，

∴PA²=PC²，即（1+1）²+（n﹣0）²=（1+0）²+（n+3）²

解得n=﹣1，

∴PA²=（1+1）²+（﹣1﹣0）²=5，

∴S_△EDW=PA²=5；（8分）

法一：设存在符合条件的点M（m，m²﹣2m﹣3），则m＞0，

①当M在直线BD上侧时，连接OM（如图1），

则S_△BDM=S_△OBM+S_△ODM﹣S_△BOD=5，

即，

，

整理，得3m²﹣5m﹣22=0，

解得m₁=﹣2（舍去），，

把代入y=m²﹣2m﹣3得；

∴；（10分）

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，连接OM₁（如图1），

则S_△BDM1=S_△BOD+S_△BOM1﹣S_△DOM1=5，

即，

，

整理，得3m²﹣5m﹣2=0，

解得\，（舍去）

把m=2代入y=m²﹣2m﹣3得y=﹣3，

∴M₁（2，﹣3）；

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）

法二：设存在符合条件的点M（m，m²﹣2m﹣3），则m＞0，

①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴，

交DB于G；（如图2）

设D、B到MG距离分别为h₁，h₂，则

S_△BDM=S_△DMG﹣S_△BMG=5，

即，

，

，

整理，得3m²﹣5m﹣22=0；

解得m₁=﹣2（舍去），；

把代入y=m²﹣2m﹣3

得；

∴．（10分）

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，过M₁作M₁G₁∥y轴，交DB于G₁（如图2）

设D、B到M₁G₁距离分别为h₁、h₂，则S_△BDM=S_△DM1G1+S_△BM1G1=5，

即，

，

，

整理，得3m²﹣5m﹣2=0，

解得，（舍去）

把m=2代入y=m²﹣2m﹣3得y=﹣3，

∴M₁（2，﹣3）；

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）

法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；（如图3）

则S_△DHB=S_△BDM=5，

即，，

∴DH=，

∴；

∴直线MH解析式为；

联立

得或；

∵M在y轴右侧，

∴M坐标为．（10分）

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，过M₁作M₁H₁∥BD，交y轴于H₁，

连接BH₁（如图3），同理可得，

∴，

∴直线M₁H₁解析式为，

联立

得或；

∵M₁在y轴右侧，

∴M₁坐标为（2，﹣3）

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）