如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的菱形，
，
为正三角形，且侧面
底面，
为线段
的中点，
在线段
上．
（1）当是线段的中点时，求证：
平面
；
（2）是否存在点，使二面角
的大小为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．
（1）当是线段的中点时，求证：平面；
（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（1）见解析；（2）存在
．
【解析】（1）证明：连接
交
于
点，连接
，
∵四边形是菱形，∴点为的中点，
又∵为的中点，∴
，
又∵
平面，
平面，∴平面．........................4分
（2）∵是菱形，，是的中点，∴
，
又∵
平面，
以为原点，分别以
，
，
为
，
，
轴，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
．..................6分
假设棱上存在点，设点坐标为
，
，
则
，∴
，
∴
，
，........................7分
设平面
的法向量为
，
则
，解得
．
令
，则
，得
．................................................8分
∵平面，∴平面的法向量
，.........................................9分
∴
，....................................10分
∵二面角的大小为，
∴
，即
，解得
，或
（舍去）...........11分
∴在棱上存在点，当时，二面角的大小为．...........12分