(本题满分15分)如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，
平面，
，
分别是
的中点．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若
为
上的动点，
与平面
所成最大角的正切值为
，求二面角
的余弦值．
(本题满分15分)如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．
满分15分。
（Ⅰ）证明：由四边形
为菱形，
，可得
为正三角形．
因为
为
的中点，所以
．
又
，因此
．
因为
平面，
平面，所以
．
而
平面
，
平面且
，
所以
平面．又
平面，
所以
． …………………………………7分
（Ⅱ）解：设
，
为
上任意一点，连接
．
由（Ⅰ）知平面，
则
为
与平面所成的角．
在
中，
，
所以当
最短时，最大，
即当
时，最大．
此时
，
因此
．又
，所以
，
所以
． ………………………………………10分
解法一：因为平面，平面
，所以平面
平面．
过作
于
，则
平面，
过作
于
，连接
，则
为二面角
的平面角，
在
中，
，
，
又
是
的中点，在
中，
，
又
，在
中，
，即所求二面角的余弦值为
．……………14分
解法二：
由（Ⅰ）知
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又
分别为
的中点，所以
，
，
所以
．
设平面
的一法向量为
，
则
因此
取
，则
，因为
，
，
，
所以
平面
，故
为平面的一法向量．
又
，所以
．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．………………14分