已知椭圆C：
＋
＝1(a>b>0)的离心率为
，点
在椭圆C上．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交于两点P1，P2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点在椭圆C上．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交于两点P1，P2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题意得
＝，a2＝b2＋c2，
又点在椭圆C上，∴
＋
＝1，解得a＝2，b＝1，c＝
，
∴椭圆C的方程为
＋y2＝1.(5分)
(
Ⅱ)存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2＋y2＝5.
证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m.
∴当圆的方程为x2＋y2＝5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值－
.
当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x＝±2.
此时，圆x2＋y2＝5与l的交点P1，P2也满足k1k2＝－.
综上，当圆的方程为x2＋y2＝5时，
圆与l的交点P1，P2满足直线OP1，OP2的斜率之积为定值－.(12分)