首页 / 若x、y、z∈(0,),且满足下列等式sin(cosx)=x, cosy=y,cos(sinz)=z,试将x、y

若x、y、z∈(0,),且满足下列等式sin(cosx)=x, cosy=y,cos(sinz)=z,试将x、y

若x、y、z∈(0,),且满足下列等式sin(cosx)=x,　cosy=y,cos(sinz)=z,试将x、y、z按由小到大的顺序排列.

      

答案

思路分析

:本题x、y、z的大小关系全都没有确定,且由题设条件推得的结论很少,很难用直接证法入手,故用反证法.先添加假设条件x≥y,y≥z作为推理依据.

      

解:(1)假设x≥y,因为余弦函数在［0, ］上单调递减,所以0x≤cosy=y<,于是x=sin(cosx)x≤cosy=y,与x≥y矛盾,因而x<y.

       (2)又假设y≥z,则0n

zy<,于是z=cos(sinz)>cosy,与y≥z矛盾.因而y

综上所述,x<y

      

温馨提示:用反证法证题第一步要注意正确的反设.没有正确的反设,一切推理都是没有价值的.正确的反设必须咬文嚼字,思考原命题结论的方方面面,不遗漏任何一种情形.

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