定义：若一个数列中的每一项都是另一个数列中的项，则称这个数列是另一个数列的子数列。已知
是等差数列，
是公比为
的等比数列，
，
，记
为数列的前
项和．
（Ⅰ）若
（
是大于
的正整数），求证：
；
（Ⅱ）若
（
是某个正整数），求证：是整数，且数列是数列的子数列.
定义：若一个数列中的每一项都是另一个数列中的项，则称这个数列是另一个数列的子数列。已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，记为数列的前项和．
（Ⅰ）若（是大于的正整数），求证：；
（Ⅱ）若（是某个正整数），求证：是整数，且数列是数列的子数列.
（1）设等差数列的公差为
，则由题设得
，
，且
．
由
得
，所以
，
．
故等式成立．
（2）（ⅰ）证明
为整数：
由
得
，即
，
移项得
．
因
，，得
，故为整数．
（ⅱ）证明数列
中的每一项都是数列
中的项：
设
是数列中的任一项，只要讨论
的情形．
令
，即
，
得
．
因，当
时，
，
为
或
，则
为
或
；
而
，否则
，矛盾．
当
时，为正整数，所以为正整数，从而
．
故数列中的每一项都是数列中的项．即数列是数列的子数列.