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已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点,且这两点平分

已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的半径最小时的圆M的方程.

答案

解:由x2+y2-2mx-2ny+m2-1-(x2+y2+2x+2y-2)=0得直线AB的方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0.

依题意,有AB过圆N的圆心(-1,-1),

∴m2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2).

故n≤-2.又圆M的半径r=,

∴r≥,rmin=,此时n=-2,m=-1.

故圆M的方程为(x+1)2+(y+2)2=5.

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