证明:当AC+BD＜0时,AC+BD≤成立.
当AC+BD≥0时,欲证AC+BD≤
成立,
只需证(AC+BD)2≤(a2+b2)(c2+d2),即2ABCD≤a2d2+b2c2,
只需证a2d2+b2c2-2ABCD≥0,即(AD-BC)2≥0.
因为(AD-BC)2≥0成立,
所以当AC+BD≥0时,
AC+BD≤
成立.
点评:用分析法证明不等式的关键是寻求不等式成立的充分条件,因此常对原不等式化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所有这些变形必须能够逆推.本题AC+BD符号不定,不能直接平方,而应对其符号进行讨论.