已知f（x）=lgx，g（x）=x+
，h（x）=f[g（x）]．
（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数；
（2）若（x+）（y+
）=
，求证：x+2y=0．
已知f（x）=lgx，g（x）=x+，h（x）=f[g（x）]．
（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数；
（2）若（x+）（y+）=，求证：x+2y=0．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】（1）先求出
，容易得到h（﹣x）=﹣h（x），即得到h（x）为奇函数，可以求导数h′（x）＞0，从而得出h（x）为R上的增函数；
（2）由
便可得到
，两边取以10为底的对数，根据h（x）的解析式可得到h（x）+h（2y）=0，而由h（x）为奇函数且为增函数便可得到x+2y=0．
【解答】证明：（1）；
恒成立；
∴h（x）的定义域为R，且
=
=﹣h（x）；
∴h（x）为R上的奇函数；
又
=
；
∴h（x）为R上的增函数；
（2）
=
；
∴
；
∴
=
=h（x）+h（2y）=0；
∴h（x）=﹣h（2y）；
∵h（x）为R上的奇函数且是增函数；
∴h（x）=h（﹣2y）；
∴x=﹣2y；
∴x+2y=0．