已知椭圆
，离心率为
的椭圆经过点
。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线
分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数
，使得
？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。
已知椭圆，离心率为的椭圆经过点。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）设椭圆方程为
，则
，即
，
由此得
，故椭圆方程是
，
将点的坐标代入，得
，解得
，
故椭圆方程是
。
（2）问题等价于
，即
是否是定值问题。
椭圆的焦点坐标是
，不妨取焦点（2，0），
（i）当直线AB的斜率存在且不等于零时，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是
，
代入椭圆方程并整理得
。
设
，则
。
根据弦长公式，
以
代换k，得
所以
即
（ii）当直线AB的斜率不存在或等于零时，
一个是长轴长度，一个是通径长度，此时
，即。
综上所述，故存在实数
，使得。