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过定点A(-2,-1)，倾斜角为4５°的直线与抛物线y=ax2交于B、C，且|BC|是|A

过定点A(-2,-1)，倾斜角为4５°的直线与抛物线y=ax2交于B、C，且|BC|是|AB|、|AC|的等比中项，求抛物线方程

答案

解

:设A(-2,-1)、B(x1,y1)、C(x2,y2)在x轴上的射影分别为A′(-2,0)、B′(x1 ,0)、C′(x2 ,0).

∵|BC|2=|AB|·|AC|,

∴|B′C′|2=|A′B′|·|A′C′|.

于是有|x1-x2|2=(x1+2)(x2+2).        ①

直线AC的方程为y=x+1,

代入y=ax2并整理得ax2-x-1=0.

∴,    ②

把②代入①得a=1或.

当a=1时,方程ax2-x-1=0根的判别式Δ＞0；

当时,Δ=0, B、C重合,不合题意,舍去.

∴抛物线方程为y=x2.

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