（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值.
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值.
（1）证明：
∵PC⊥平面ABC，AB
平面ABC，∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB，AB
平面PAB，
∴CD⊥AB.
又∵PC∩CD=C，
∴AB⊥平面PCB.
（2）解法一：取PA的中点E，连结CE、DE.
∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=
.∵CD⊥平面PAB，
由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA.
∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角.
由（1）得AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC.
又∵AB=BC，AC=2，求得BC=
.
解法二：
∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、
z轴建立空间直角坐标系（如图）.
设平面PAB的法向量为m
=(x,y,z).A(0,
,0),P(
,0,2),C(
,0,0),
∴
=(0,2,0),
=(
,-
,2).
则
即
解得
令z=-1,
得m
=(
,0,-1). 设平面PAC的法向量为n
=(x1,y1,z1)，
=(0,0,2),AC=(2,-2,0),
则
即
解得
令x1=1,得n
∴cos〈m
,n〉=
. ∴二面角C-PA-B的大小为arccos
.
解法三：∵CD⊥平面PAB，∴
是平面PAB的一个法向量.
取AC的中点F，∵AB=BC=
，∴BF⊥AC.
又∵PC⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，
∴BF⊥平面PAC.∴
是平面PAC的一个法向量.
=
(
+
).
设
=λ
+(1-λ)
,∵
⊥BP,即
·
=0,
得(λ
+(1-λ)
)·(
-
)=0,由(1)知
·
=0,
·
=0,
∴λ|
|2-(1-λ)|
|2=0.而|
|=2,|
|=2,
∴λ=
.∴CD=
CP+
CB.
|
|2=
×4+
×2=
,|
|2=
×(2+2)=1,
∴cos〈
,
〉=
=
.