正项数列{xn}中，对于任何n∈N*，xn2≤xn-xn+1恒成立.求证：对于任何n

正项数列{x_n}中，对于任何n∈N^*，x_n²≤x_n-x_n+1恒成立.求证：对于任何n∈N^*,x_n＜恒成立.

答案

证明:①n=1时，由x₁-x₁²≥x₂＞0解得0＜x₁＜1，原不等式成立.

②设n=k时原不等式成立，即0＜x_k＜成立，由于x_k+1≤x_k-x_k²恒成立.

（1）0＜x_k≤时，x_k+1≤x_k-x_k²＜x_k≤成立.

(2)＜x_k＜时，x_k+1≤x_k(1-x_k)＜·(1-)=.

由（1）,（2）可知n=k+1时原不等式成立.

由①②可知对于任何n∈N

^*,x_n＜成立.

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