18.如下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2. E、F分别是线段AB

AD=3,AA₁=2. E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.

（Ⅰ）求二面角C—DE—C₁的正切值;

（Ⅱ）求直线EC₁与FD₁所成角的余弦值.

18.本小题主要考查二面角、异面直线所成的角、空间向量等知识和思维能力、空间想象能力、运算能力.

     解法一：（Ⅰ）过C作CG⊥DE，垂足为G，连结C₁G.

　　∵CC₁⊥平面ABCD，

　　∴CG是C₁G在平面ABCD上的射影，

　　由三垂线定理得DE⊥C₁G.

　　∴∠CGC₁是二面角C－DE－C₁的平面角.

　　在△ADE中，AE＝AD＝3，∠DAE＝90

　　∴∠ADE＝45

　　∴CG＝CD·sin∠CDG＝4×sin45

    ∴tan∠CGC₁=

　（Ⅱ）延长BA至点E₁，使AE₁＝1，连结E₁F、DE₁、D₁E₁、DF，

　　　　有D₁C₁∥E₁E，D₁C₁＝E₁E，则四边形D₁E₁EC₁是平行四边形.

　　　　所以E₁D₁∥EC₁.于是∠E₁D₁F为EC₁与FD₁所成的角.

　　　　在Rt△BE₁F中，E₁F＝

　　　　在Rt△D₁DE₁中，D₁E₁＝

　　　　在Rt△D₁DF中，FD₁＝

＝

    　　所以在△E₁FD₁中，由余弦定理得：

　      cosE₁D₁F＝

　　解法二：（Ⅰ）以A为原点,、、

D（0,3,0）、D₁（0,3,2）、E（3,0,0）、F（4,1,0）、C₁（4,3,2）

于是,

设向量n=（x,y,z）与平面C₁DE垂直,则有

∴n=（－

取n₀=（－1,－1,2）,则n₀是一个与平面C₁DE垂直的向量.

∵向量

∴n₀与

∴cosθ=

∴tanθ=

（Ⅱ）设EC₁与FD₁所成角为β,则

cosβ=