如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥A

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）求证：2DE²=CD•OE；

（3）若tanC=，DE=，求AD的长．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；

（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC²=CD•AC，再判断出DE=BC，AC=2OE，即可得出结论；

（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．

【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，

连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∵OE∥AC，OA=OB，

∴BE=CE，

∴DE=BE=CE，

∴∠DBE=∠BDE，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

∴，

∴BC²=CD•AC，

由（1）知DE=BE=CE=BC，

∴4DE²=CD•AC，

由（1）知，OE是△ABC是中位线，

∴AC=2OE，

∴4DE²=CD•2OE，

∴2DE²=CD•OE；

（3）∵DE=，

∴BC=5，

在Rt△BCD中，tanC==，

设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）²+（4x）²=25，

∴x=﹣1（舍）或x=1，

∴BD=4，CD=3，

由（2）知，BC²=CD•AC，

∴AC==，

∴AD=AC﹣CD=﹣3=．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD∽△ACB是解本题的关键．