已知点P1(x0,y0)为双曲线
(b为正常数)上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2.
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于B,D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB
,QD分别交y轴于M,N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.
已知点P1(x0,y0)为双曲线(b为正常数)上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2.
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于B,D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB,QD分别交y轴于M,N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.
(1)由已知得F2(3b,0),A(
,y0),
则直线F2A的方程为
,
令x=0得y=9y0,即P2(0,9y0).
设P(x,y),则
即
代入
,得
,
即P的轨迹E的方程为
.
(2)在中,
令y=0得x2=2b2,则不妨设B(
,0),D(
,0),
于是直线QB的方程为
,
直线QD的方程为
,
可得M(0,
),N(0,
),
则以MN为直径的圆的方程为x2+(
)(
)=0,
令y=0得
,
而Q(x1,
y1)在上,
则
,
于是x=±5b,
即以MN为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).