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如图1-4-4(a)中，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为

如图1-4-4(a)中，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足.求证:AF·AC=BG·BE.

    图1-4-4

 

答案

思路解析

:将图1-4-4(a)分解出两个基本图形1-4-4(b)和(c)，再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两边分别满足图1-4-4(b)和(c)中的射影定理:AF·AC=AD2，BG·BE =DB2，通过代换线段的平方(AD2=DB2)就可以证明所要的结论.

图1-4-4

证明

:∵CD垂直平分AB，

∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD =BD.

又∵DF⊥AC，DG⊥BE，

∴AF·AC =AD2，BG·BE =DB2.

∵AD2=DB2,

∴AF·AC=BG·BE.

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