设函数
．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[
－1，e－1]时，是否存在整数m，使不等式m<f(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，则说明理由．
设函数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[－1，e－1]时，是否存在整数m，使不等式m<f(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，则说明理由．
(1)由1＋x>0，得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得－1<x<0.
∴函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．
(2)由(1)知，f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0，e－1]上单调递增．∴f(x)min＝f(0)＝0.
又f(－1)＝
＋1，f(e－1)＝e2－e，且e2－3>＋1，
∴x∈[－1，e－1]时，f(x)max＝e2－e.
∵不等式m<f(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立，
∵m是整数，∴m＝－1.
∴存在整数m＝－1，使不等式m<f(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立．