（2009四川卷理）（本小题满分14分）
设数列
的前
项和为
，对任意的正整数，都有
成立，记
。
（I）求数列
的通项公式；
（II）记
，设数列
的前项和为
，求证：对任意正整数都有
；
（III）设数列的前项和为
。已知正实数
满足：对任意正整数
恒成立，求的最小值。
本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
（2009四川卷理）（本小题满分14分）
设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（I）求数列的通项公式；
（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。
本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）当
时，
又 
数列
成等比数列，其首项
，公比是
……………………………………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.
= 
又
当
当
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知
恒成立，取n为大于1的奇数时，设
则
>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足
的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当
时，对一切的正整数n都有
事实上，对任意的正整数k，有
当n为偶数时，设
则
<
当n为奇数时，设
则
.
<
对一切的正整数n，都有
综上所述，正实数
的最小值为4………………………….14分