如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线
经过B点，且顶点在直线
上．
1.求抛物线对应的函数关系式；
2.若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由
3.在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．请求出点P的坐标．
4.在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.∵抛物线经过B（0，4），∴
，------1分
∵顶点在直线上，∴
，
，
∴所求函数关系式为： --------------------------------------2分
2.在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．---------------------------------3分
当时，
，-----------------------------------------4分
当时，
，
∴点C和点D在所求抛物线上．--------------------------------------------------5分
3.设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，--------------------------6分
设直线CD对应的函数关系式为，
则，解得：
，
∴，---------------------7分
当时，
，∴P（
，
），-------------------8分
4.∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，
∴，
，
，---------------9分
设对称轴交x轴于点F，则，
∵，
，
∴（
-------------10分
由，
∴当时，S取得最大值为
，-----------------11分
此时点M的坐标为（0，）．
解析:此题考核二次函数的综合应用
（1） 通过B（0，4），顶点在直线
上，求出函数关系式
（2） 通过勾股定理和菱形性质求出C、D两点的坐标，代入函数关系式求证
（3） 通过C、D两点的坐标, 求出直线CD对应的函数关系式,从而求出点P的坐标
通过△OMN∽△OBD，求得
，再通过面积求得S与t的函数关系式，从而求得最大值和M点的坐标