已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间，并加以证明．
已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间，并加以证明．
[解] (1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如右图所示．
(3)由图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)．
证明：设x1、x2∈(－∞，0)且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝lg|x1|－lg|x2|
＝
.
∵x1、x2∈(－∞，0)，且x1<x2，
∴|x1|>|x2|>0.
∴|
|>1.∴lg||>0.∴f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，
即函数的单调递减区间是(－∞，0)．