（08年周至二中四模理）( 14
直线l:ax－y－1=0与曲线C：x2－2y2=1交于P、Q两点，
(1)当实数a为何值时，|PQ|=2
.
(2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
（08年周至二中四模理）( 14
直线l:ax－y－1=0与曲线C：x2－2y2=1交于P、Q两点，
(1)当实数a为何值时，|PQ|=2.
(2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解析：
, ∴(1－2a2)x2+4ax－3=0.
若1－2a2=0,即a=±
时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合，
∴1－2a2≠0,Δ=(4a)2－4(1－2a2)(－3)＞0, ∴－
＜a＜.
(*) ∴｜PQ｜=
｜x1－x2｜=2.
∴(x1－x2)2=4,∴(x1+x2)2－4x1x2=4. ∴(－
)2－4
=4.
∴a=±1∈(－,).
∴所求的实数a的值为a=±1. 6分
(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O，则由OP⊥OQ，得y1・y2=－x1・x2.
∴(ax1－1)・(ax2－1)=－x1・x2,
∴(1+a2)x1・x2－a(x1+x2)+1=0. 10分
把(*)式代入得：a2=－2与a为实数矛盾，
∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点. 10分