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设函数,曲线在点处的切线方程为.   (1)求的解析式; (2)证明:曲线上

设函数,曲线在点处的切线方程为.   (1)求的解析式;

(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

答案

解:( 1)方程可化为.

当时,. 又,于是解得 ,

故.

(2)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为

,即.

令得,从而得切线与直线的交点坐标为.

令得,从而得切线与直线的交点坐标为.

所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积为.

故曲线上任一点处的切线与直线,所围成的三角形的面积为定值,此定值为.

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