如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，

如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若∠PAC=60°，直径AC=4，求图中阴影部分的面积．

【考点】切线的判定；扇形面积的计算．

【分析】（1）首先连接AN，由以AC为直径的⊙O，可得∠ANC=90°，又由AB=AC，AN⊥BC，可求得∠CAN=∠BCP，继而证得∠ACP=90°，即可判定PC是⊙O的切线；

（2）连接ON，由AB=AC，∠BAC=60°，可得△ABC是等边三角形，然后分别求得△OCN与扇形CON的面积，即可求得答案．

【解答】（1）证明：连接AN，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠NCA=90°，

∵AB=AC，AN⊥BC，

∴∠BAN=∠CAN，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴2∠CAN=2∠BCP，

∴∠CAN=∠BCP，

∴∠BCP+∠ACB=90°，

即∠ACP=90°，

∴AC⊥PC，

∵AC为⊙O直径，

∴PC是⊙O的切线；                               

（2）连接ON，

∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵ON=OC，

∴△ONC是等边三角形，

∴∠NOC=60°，

∴OC=NC=AC=×4=2，

过点O作OE⊥NC于E，

∵sin∠ACB=，

∴sin60°=，

∴OE=2×=3，

∵S_△ONC=NC•OE=×2×3=3，S_扇形==2π，

∴S_阴影=S_扇形﹣S_△ONC=2π﹣3．

【点评】此题考查了切线的判定、扇形的面积以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．