设椭圆C1: 
+
=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.
(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;
(2)设A(0,b),Q（3
,
b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,
b）,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.
设椭圆C1: +=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.
(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;
(2)设A(0,b),Q（3,b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,b）,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.
解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),
可得c2=b2,
由a2=b2+c2=2c2,
有
=
,
所以椭圆C1的离心率e=
.
(2)由题设可知M,N关于y轴对称,
设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),
则由△AMN的垂心为B,有
·
=0.
所以-
+（y1-b）(y1-b)=0.①
由于点N(x1,y1)在C2上,
故有+by1=b2.②
由①②得y1=-
或y1=b(舍去),
所以x1=
b,
故M（-b,-）,N（b,- ）,
所以△QMN的重心坐标为（,）.
由重心在C2上得3+
=b2,
所以b=2,
M（-
,-）,N（,-）.
又因为M,N在C1上,
所以
+
=1,
解得a2=
.
所以椭圆C1的方程为
+
=1.
抛物线C2的方程为x2+2y=4.