如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△CAD，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（3）如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt△ABD中，AB=
=5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=
，
∴PD=PA﹣AD=﹣3=
，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴
•r•5+•r•8+•r•5=•3•8，解得r=
，
即QD=，
∴PQ=PD+QD=+=
．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．
