已知椭圆C：的离心率 e=，且经过点（0，3），左右焦点分别为F1，F2

已知椭圆C：的离心率 e=，且经过点（0，3），左右焦点分别为F₁，F₂，

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F₁作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求出S取最大值时直线l的方程．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）利用椭圆C的离心率，且椭圆经过点（0，3）建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；

（2）由椭圆方程可得左、右两个焦点分别为F₁（﹣4，0），F₂（4，0）．设直线l的方程为my=x+4．与椭圆方程联立消去x可得根与系数的关系，利用△ABF₂面积S=|F₁F₂||y₁﹣y₂|，可得关于m的表达式，再利用基本不等式即可得出．

【解答】解：（1）椭圆的焦点在x轴上，

∵椭圆过点A（0，3），离心率e=，

∴=1，=，

∵c²=a²﹣b²．

∴a²=25，b²=9，

∴椭圆方程为+=1．

（2）由椭圆方程可得a²=25，b²=9，c=4，

左、右两个焦点分别为F₁（﹣4，0），F₂（4，0）．

设直线l的方程为my=x+4，代入椭圆方程整理可得：（25+9m²）y²﹣72my﹣81=0．

∴y₁+y₂=，y₁y₂=﹣．

∴|y₁﹣y₂|===90．

∴△ABF₂面积S=|F₁F₂||y₁﹣y₂|=×8×90=360，

令t=1+m²（t≥1），则S=360=360，

由81t+≥2=288，当且仅当t=取得等号．

△ABF₂面积S取得最大值360×=15．

即当m=±时，△ABF₂面积S取得最大15．

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想在解决问题中的应用，注意运用椭圆的定义和转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．