设函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f
＝1，当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)如果f(x)＋f(2＋x)<2，求x的取值范围．
设函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f＝1，当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)如果f(x)＋f(2＋x)<2，求x的取值范围．
解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝
0，
∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数．
(3)任取x1，x2∈R，x1<x2，则x2－x1>0.
∵f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，
∴f(x1)<f(x2)．故f(x)是R上的增函数．
∵f＝1，∴f
＝f
＝f＋f＝2.
∴f(x)＋f(2＋x)＝f[x＋(2＋x)]＝f(2x＋2)<f.又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，得2x＋2<
，解之得x<－.
故x∈
.