已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=Sn+n+5(n∈N*),求证:数列{an+1}

已知数列{a_n}的首项a₁=5,前n项和为S_n,且S_n+1=S_n+n+5(n∈N^*),

求证:数列{a_n+1}是等比数列.

答案

证明:由已知S_n+1=S_n+n+5(n∈N^*),

可得n≥2,S_n=S_n-1+n+4,

两式相减得S_n+1-S_n=2(S_n-S_n-1)+1,

即a_n+1=2a_n+1.

从而a_n+1+1=2(a_n+1).

当n=1时,S₂=S₁+1+5,

所以a₂+a₁=2a₁+6.

又a₁=5,所以a₂=11.

从而a₂+1=2(a₁+1).

故总有a_n+1+1=2(a_n+1)(n∈N^*),

又a₁=5,a₁+1≠0,

从而=2,

即数列{a_n+1}是等比数列.

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