函数
，若曲线
在点
处的切线与直线
垂直（其中
为自然对数的底数）.
（1）若在
上存在极值，求实数
的取值范围；
（2）求证：当
时，
.
函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.
（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，.
【解析】（1）
；（2）见解析
解析：（1）∵
由已知
∴
得
………2分
∴
当
为增函数；
当
时，
，为减函数。
∴
是函数的极大值点 ………4分
又在上存在极值
∴ 
即
故实数的取值范围是 ………5分
（2）
即为
………6分
令
则
再令
则
∵ ∴
∴ 
在
上是增函数
∴
∴
∴
在上是增函数
∴时，
故
………9分
令
则
∵ ∴
∴
即
上是减函数
∴时，
………11分
所以
， 即 ………12分
【思路点拨】(1)先求导得，利用单调性判断出是函数的极大值点，所以有，解不等式组即可；（2）先转化为， 令，再求导结合单调性证明。