在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将△ABC的周长分成相等的两部分．设AE＝x，AD＝y，△ADE的面积为S．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出S关于x的函数关系式；试判断S是否有最大值，若有，则求出其最大值，并指出此时△ADE的形状；若没有，请说明理由．
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在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将△ABC的周长分成相等的两部分．设AE＝x，AD＝y，△ADE的面积为S．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出S关于x的函数关系式；试判断S是否有最大值，若有，则求出其最大值，并指出此时△ADE的形状；若没有，请说明理由．
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解：（1）∵DE平分△ABC的周长
∴
，即y＋x＝12
∴y关于x的函数关系式为：y＝12－x（2≤x≤6）
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F
∵
，即
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°
∴
，即
∴
∴
故当x＝6时，S取得最大值
此时，y＝12－6＝6，即AE＝AD．因此，△ADE是等腰三角形．
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