已知以点
(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
已知以点 (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
∵圆C过原点O，∴r2＝t2＋
．
设圆C的方程是(x－t)2＋
2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝
；令y＝0，
得x1＝0，x2＝2t．
∴S△OAB＝
OA×OB＝×
×|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)解 ∵OM＝ON，CM＝CN，
∴OC垂直平分线段MN．
∵kMN＝－2，∴kOC＝．
∴直线OC的方程是y＝x．
∴
＝t．解得t＝2或t＝－2．
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝
，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝
<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝
>，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．