)an+
(n≥1).（1）用数学归纳法证明：an≥2(n≥2)；
（2）已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立，证明：an＜e2(n≥1)，其中无理数e=2.718 28….
)an+(n≥1).（1）用数学归纳法证明：an≥2(n≥2)；
（2）已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立，证明：an＜e2(n≥1)，其中无理数e=2.718 28….
证明：（1）①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立.
②假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即ak≥2(k≥2),
那么ak+1=［1+］ak+≥2.
这就是说，当n=k+1时不等式成立.
根据①②可知：ak≥2对所有n≥2成立.
（2）由递推公式及（1）的结论有
an+1=(1+
)an+
≤(1+
+
)an.(n≥1),
两边取对数并利用已知不等式得
lnan+1≤ln(1+
+
)+lnan≤lnan+
+
.
故lnan+1-lnan≤1
+
(n≥1).
上式从1到n-1求和可得
lnan-lna1≤
.
即lnan＜2,故an＜e2(n≥1).