已知函数，a∈R． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x

已知函数，a∈R．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，（x₁＜x₂），求证：1＜x₁＜a＜x₂＜a²．

【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．

【专题】计算题．

【分析】（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．

（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），进一步得出x₁∈（1，a）和x₂∈（a，a²），从而得出答案．

【解答】解：（1）由题意，函数的定义域为（0，+∞），

当a≤0时，，，

函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…3分

当a＞0时，，…5分

若x≥a，，此时函数f（x）单调递增，

若x＜a，，此时函数f（x）单调递减，

综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． …7分

（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，

此时函数至多只有一个零点，不合题意；                      …8分

则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），

由题意，必须，解得a＞1，…10分

由，f（a）＜0，

得x₁∈（1，a），…12分

而f（a²）=a²﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna），

下面证明：a＞1时，a﹣1﹣lna＞0

设g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞1

则，

所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，

所以f（a²）=a²﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna）＞0，

又f（a）＜0，

所以x₂∈（a，a²），

综上，1＜x₁＜a＜x₂＜a²．                     …16分

【点评】本题考查了函数的单调性、根的存在性及根的个数判断．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．