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在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2,侧棱长为3,E、F分别是AB1、CB1

在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2,侧棱长为3,E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C.

答案

证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为A(,0,0),C(0, ,0),B1(,,),D1(0,0,),E(, ,),F(,,).假设平面AB1C的法向量为n1=(1,λ1,μ1),则n1应垂直于和.而=(-,,0), =(0, ,),

∴n1=-+λ1=0及n1=λ1+μ1=0.

∴λ1=1,μ1=-.

∴n1=(1,1,- ).

再假设平面D1EF的法向量为n2=(1,λ2,μ2),则n2应垂直于、,而=(, ,-),=(,,-),

∴n2=+λ2-μ2=0,

n2=+λ2-μ2=0.

∴λ2=1,μ2=.

∴n2=(1,1, ).

由于n1n2=1+1-=1+1-2=0,

∴n1⊥n2.因此平面D1EF⊥平面AB1C.

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