已知函数
.
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）设
，证明：当
时，
；
（Ⅲ）设
是
的两个零点，证明
.
已知函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时， ；
（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .
（Ⅰ）
在
上单调递减，在
上单调递增；（Ⅱ）当时，
；（Ⅲ）证明过程见解析
【解析】（Ⅰ）的定义域为
，
求导数，得
，
若
，则
，此时在上单调递增，
若 ，则由
得
，当时，
，当
时， ，
此时在
上单调递减，在
上单调递增.
（Ⅱ）令
，则
.
求导数，得
，
当时，
，
在
上是减函数.
而
，
，
故当时，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数
至多有一个零点，
故，从而的最小值为
，且
，
不妨设
，则
，
，
由（Ⅱ）得
，
从而
，于是
，
由（Ⅰ）知，
.