（本小题满分13分）若圆
过点
且与直线
相切，设圆心的轨迹为曲线
，
、
为曲线上的两点，点
，且满足
.
（1）求曲线的方程；
（2）若
，直线
的斜率为
，过
、
两点的圆
与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程；
（3）分别过、作曲线的切线，两条切线交于点
，若点恰好在直线
上，求证：
与
均为定值.
（本小题满分13分）若圆过点且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线，、为曲线上的两点，点，且满足.
（1）求曲线的方程；
（2）若，直线的斜率为，过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程；
（3）分别过、作曲线的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证：与均为定值.
解：（1）依题意,点
到定点
的距离等于到定直线
的距离，所以点的轨迹为抛物线，曲线
的方程为
； …………………………………………………………3分
（2）直线
的方程是
,即
，
由
得点
、
的坐标是
或
，………………………………5分
当
、
时，由得
,
，
所以抛物线在点处切线的斜率为
，
直线
的方程为
，即
…………①
线段
的中点坐标为
，中垂线方程为
，即
…………②
由①、②解得
， …………………………………………………………7分
于是，圆的方程为
，
即 
， ………………………………………………………8分
当
、
时，抛物线在点处切线的斜率为
，此时切线与垂直，所求圆为以为直径的圆，可求得圆为
， ……9分
（3）设
，
,
，过点
的切线方程为
，
即
，同理可得
，所以
,
，……10分
又
=
，所以直线的方程为
，
即
,亦即
,所以
，………………………………………11分
而
,
，所以
. …………………………………13分