已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
(1)求b的值 (2)求f(2)的取值范围
已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
(1)求b的值 (2)求f(2)的取值范围
(1)0 (2)
【解析】 (1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，
∴f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b. …………3分
∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，
∴当x＝0时，f(x)取到极小值，即f ′(0)＝0，
∴b＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝－x3＋ax2＋c，
∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a.
∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝
.
又∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，
∴应是f(x)的一个极大值点，因此应有x2＝>1，即a>
.
∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>－
.
故f(2)的取值范围为.