（本小题满分13分）
已知椭圆
的短轴长为
，且与抛物线
有共同的焦点，椭圆
的左顶点为A，右顶点为
，点
是椭圆上位于
轴上方的动点，直线
，
与直线
分别交于
两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段
的长度的最小值；
（Ⅲ）在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点
，使得
的面积为
，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由．
（本小题满分13分）
已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为A，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段的长度的最小值；
（Ⅲ）在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由．
（本小题满分13分）
解：（I）由已知得，抛物线的焦点为
，则
，又
．
由
，可得
．
故椭圆
的方程为
．…………………………………………4分
（Ⅱ）直线
的斜率
显然存在，且
，故可设直线的方程为
，从而
．
由
得
．………………………………6分
设
，则
． 所以
，从而
．
即
又
，
则直线
的斜率为
．
由
得
所以
．
故
．
又， 
．
当且仅当
，即
时等号成立．
所以当时，线段
的长度取最小值
．…………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当的长度取最小值时，．
则直线的方程为
，此时
，
．
若椭圆上存在点
，使得
的面积等于
，则点到直线的距离等于
，
所以在平行于且与距离等于的直线
上．
设直线
．
则由
得
．………………………………………10分
．即
．
由平行线间的距离公式，得 
，
解得
或
（舍去）．
可求得
或
．…………………………………………13分