已知函数
.
（1）若曲线
在点
处的切线方程是
，求函数
在
上的值域；
（2）当
时，记函数
，若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程是，求函数在上的值域；
（2）当时，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【详解】（1）因为
，
所以
，所以
，
所以
，即
.
，
，
，
所以在上的值域为
.
（2）（i）当时，
，由
，得
，此时函数有三个零点，符合题意.
（ii）当
时，
.由
，得
.当
时，
；当
时，
.若函数有三个零点，则需满足
且
，解得
.
（iii）当
时，.由，得
，
.
①当
，即
时，因为
，此时函数至多有一个零点，不符合题意；
②当
，即
时，因为
，此时函数至多有两个零点，不符合题意；
③当
，即
时，
若
，函数至多有两个零点，不符题意；
若
，得
，因为
，所以
，此时函数有三个零点，符合题意；
若，得
，由，记
，则
，所以
，此时函数有四个零点，不符合题意.
综上所述：满足条件的实数
.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．