在平面直角坐标系
中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在
轴上，短轴长为2，离心率为
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A、B为椭圆C上满足△AOB的面积为
的任意两点, E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设
,求实数t的值.
在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A、B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点, E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设,求实数t的值.
解:（1）设椭圆C的方程为
，由题意知
，解得
,椭圆C的方程为
.
(2) 当AB⊥x轴时,设A(x0,y0),B(x0,-y0), 由
由
=t
=t(x0,0)=(tx0,0),得P(tx0,0),又P在椭圆上,所以
+02=1,所以t2=
=4或
,所以t=2或
(舍去负值).
当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,显然m≠0,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.…(*)
由三角形面积公式知, 
|xAyB-xByA|=|xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|=|m||xA-xB|=
,
所以, 
,
即
,整理得, 
…①
又
，
所以， 
，
即
，将其代入椭圆方程得
，
整理可得，
②
联立①②，消去
，约分掉
，移项整理得，
，
解之可得，
或
，均能使
式的
，所以
或
（舍去负值）.
综上，或.