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证明a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

证明a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

答案

证明

:∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,

∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),

即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,

c2a2+a2b2≥2a2bc,

∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),

即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc

=abc(a+b+c).

∴原不等式成立.

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