证明a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

证明a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c).

答案

证明

:∵a⁴+b⁴≥2a²b²,b⁴+c⁴≥2b²c²,c⁴+a⁴≥2c²a²,

∴2(a⁴+b⁴+c⁴)≥2(a²b²+b²c²+c²a²),

即a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a².

又a²b²+b²c²≥2ab²c,b²c²+c²a²≥2abc²,

c²a²+a²b²≥2a²bc,

∴2(a²b²+b²c²+c²a²)≥2(ab²c+abc²+a²bc),

即a²b²+b²c²+c²a²≥ab²c+abc²+a²bc

=abc(a+b+c).

∴原不等式成立.

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