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  O   Q   M   N   P  操作：如图①，点O为线段MN的中点，直

 

O
 

Q
 

M
 

N
 

P
 
操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。

                                                图①

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：

探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；



探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，

∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的长度。

答案

（1）画图

                                        

（2）结论：AB=AF+CF .   

证明：分别延长AE、DF交于点M，

∵E为BC的中点，

∴BE=CE .

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠M .

在△ABE与△MCE中，

∠BAE=∠M

∠AEB=∠MEC

BE=CE，

∴△ABE≌△MCE .

∴AB=MC .

又∵∠BAE=∠EAF，

∴∠M=∠EAF .

∴MF=AF .

又∵MC=MF+CF，

∴AB=AF+CF .    

（3）分别延长DE、CF交于点G

∵AB∥CF，

∴∠B=∠C，∠BAE=∠G .

∴△ABE∽△GCE .

∴ .

又∵，

∴.

∵AB=5，

∴GC=10 .

∵FC=1，

∴GF=9 .

∵AB∥CF，

∴∠BAE=∠G .

又∵∠BAE=∠EDF，

∴∠G=∠EDF .

∴GF=DF .

∴DF=9 .                           

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